1. 서론
우리는 물리학을 공부하면서 텐서라는 개념을 자연스럽게 접하게 됩니다. 하지만 텐서를 직관적으로 받아들일수 있도록 하는 설명은 거의 없는데요, 오늘은 텐서를 보다 직관적이고 쉽게 설명해보는 시간을 갖도록 해보겠습니다.
2. 텐서(Tensor) 소개
텐서를 단 한문장으로만 설명하자면, 곱 연산을 통해 벡터의 방향과 크기를 한번에 변경시켜주는 개념입니다. 조금 더 수학적으로 풀어보자면, 스칼라, 벡터, 텐서들 사이의 선형관계를 설명하는 것을 텐서로 의미합니다.
즉, 이러한 관점에서 보면 스칼라, vector 또한 텐서로 볼 수 있습니다. 스칼라 혹은 벡터 곱은 벡터의 크기과 방향을 변환해줄수 있기 때문입니다. 하지만 스칼라 곱의 경우 벡터 각각의 성분에 대하여 서로다른 변환을 진행할 수 없고, 벡터의 외적곱 또한 원래벡터의 수직 방향으로 정해져 있습니다. 따라서 위 두 개의 개념으로는 곱연산을 통해 벡터의 크기와 방향을 조절하는데 한계가 있습니다. 이에 텐서라는 물리량이 소개된 것입니다.
조금더 심화된 설명을 위해 여기서 잠시 멈추고 rank에 대한 이야기를 해보겠습니다. 우리가 사는 세상의 물리법칙은 크기와 방향으로 나타낼 수 있습니다. 즉 크기와 방향정보가 있다면 물리법칙을 기술하는데 큰 문제가 없다는 말이죠. rank는 각 방향 성분에서의 방향 정보 갯수로 생각하시면 됩니다. 스칼라는 크기 정보만 있고 각 방향 성분에서 방향정보는 없습니다. 벡터는 크기정보와 각 방향 성분별로 방향정보 1개가 있습니다. 즉 스칼라는 rank 0 텐서, 벡터는 rank 1 tensor입니다. 만약 방향정보가 2, 3, 4개로 증가하면, 이를 각각 rank 2, rank 3, rank 4 텐서로 부를 것임을 예상할 수 있겠습니다.
예를 들어 설명해보도록 하겠습니다. 스칼라로 표현되는 대표적인 물리량인 질량의 경우에는 크기만 존재하므로 x, y, z 방향으로 방향정보는 담겨있지 않습니다. 반면 운동량 P의 경우 \(P = (P_x, P_y, P_z)\) 와 같이 각 방향 성분별로 크기와 방향이 정의됩니다. 즉 이러한 경우에는 rank 1 의 tensor로 볼 수 있습니다. 마지막 예로 유전율을 생각해보겠습니다. 유전율의 경우 가장 대표적인 rank 2 텐서로 아래와 같이 표현될 수 있습니다.
$ \epsilon =\begin{pmatrix} \epsilon_{xx} & \epsilon_{xy} & \epsilon_{xz} \\ \epsilon_{yx} & \epsilon_{yy} & \epsilon_{yz} \\ \epsilon_{zx} & \epsilon_{zy} & \epsilon_{zz} \\ \end{pmatrix} $
또한 유전율에 대해서 변위 벡터는 전기장 벡터와 아래의 관계를 갖고 있습니다.
$ D =\begin{pmatrix} D_x \\ D_y \\ D_z \\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \epsilon_{xx} & \epsilon_{xy} & \epsilon_{xz} \\ \epsilon_{yx} & \epsilon_{yy} & \epsilon_{yz} \\ \epsilon_{zx} & \epsilon_{zy} & \epsilon_{zz} \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} E_x \\ E_y \\ E_z \\ \end{pmatrix} $
위 식에서 확인할 수 있듯이, 변위 벡터 성분 \(D_x\) 를 표현하기 위해서는 \(x\)뿐만 아니라 \(y\), \(z\) 까지 고려해야하는, 즉 한 번에 두 방향을 고려해야 합니다. 한 번에 두 방향을 고려하는 경우의 수는 아래식에서 볼 수 있듯이각 성분마다 3가지가 되겠습니다.
$ D_x = \epsilon_{xx} E_x + \epsilon_{xy} E_y + \epsilon_{xz} E_z $
이런식으로 우리는 각 성분별 정보를 늘려가면서 높은 rank의 텐서를 고려할 수 있습니다.
3. 중고등 교육과정에 등장하는 텐서 내용
사실 우리는 텐서의 개념을 고등학교 때에도 살짝 배우긴 했습니다 (17학년도 수능 이전에는 모두들 공부했었습니다). 그때 당시 우리는 일차변환과 행렬이라는 단원을 기하와 벡터 과목에서 공부했던 경험이 있습니다. 이때 일차변환이 곧 텐서의 기본개념입니다. \(2*1\) 행렬로 표현된 벡터를 회전변환을 통하여 새로운 벡터로 변환했기 때문입니다. 물론 해당 교육과정에서는 행렬을 벡터로 굳이 해석하지도 않았어서 벡터와는 전혀 무관한 단원으로 생각하셨겠지만 해당 내용은 사실 선형대수학의 기초이자, 벡터 해석의 기초였던 것입니다.
3. 결론
텐서는 물리학에서 가장 중요한 개념 중 하나로, 복잡한 물리현상을 쉽게 기술해 줄 수 있는 도구입니다. 다음시간에는 조금 더 심화된 텐서 내용과 함께 돌아오겠습니다. 긴 글 읽어주셔서 감사합니다.
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